“Para finalizar tenemos las ciencias eléctrica y magnética, que tratan de ciertos fenómenos de atracción, calor, luz y acción química, dependiendo de las condiciones de la materia, de las que solo tenemos hasta ahora un conocimiento parcial y provisional. Una inmensa cantidad de hechos ha sido recopilada y éstos han sido reducidos a orden, y expresados como los resultados de un número de leyes experimentales, pero la forma en que estas leyes están por aparecer finalmente como deducidas de principios centrales es hasta ahora incierta. La generación actual no tiene derecho de quejarse por los grandes descubrimientos ya realizados, como si no dejaran espacio para proseguir la empresa. Tan solo han dado a la ciencia una base más amplia, y no debemos solo reducir a orden las regiones ya conquistadas, sino mantener operaciones constantes a una escala continuamente creciente.”

(James Clerk Maxwell, poco antes de predecir las ondas electromagnéticas).

Tras ser nombrado miembro de la Royal Society la primavera de 1861, Maxwell fue a pasar los meses vacacionales de verano a su propiedad de Glenlair en el Sudoeste de Escocia. Era una finca rústica de paisaje ondulado. Contaba con una casa situada donde un pequeño arroyo se encontraba con el rio Urr. La iglesia y el mercado más próximos se encontraban a varios kilómetros de distancia. Desde la muerte de su padre, él era el máximo responsable del lugar. Organizaba las tareas en la propiedad y se reunía activamente con otros miembros de la comunidad. Dedicaba también parte de su tiempo a recibir a parientes y amigos, a actividades de ocio como montar a caballo y evidentemente a su trabajo científico.

En esa época, estaba ocupado en la continuación de su artículo “On Physical Lines of Force” publicado en dos partes en marzo y abril de ese mismo año en The London, Edinburg and Dublín Philosophical Magazine and Journal of Science. En él daba cuenta de las fuerzas magnéticas, las corrientes eléctricas y la relación entre ambos fenómenos. A tal efecto, había ideado un modelo constituido por vórtices cuya rotación provocaba un estado tensional equivalente a las líneas de fuerza magnética descritas por Faraday. Para que no hubiera rozamiento entre los vórtices introdujo unas capas intermedias de pequeñas partículas, que si se consideraban de naturaleza eléctrica podían dar cuenta de las corrientes.

Lo que estaba intentando entonces era incorporar las fuerzas electroestáticas a su modelo de vórtices rotatorios y pequeñas partículas intermedias deslizantes. Fue ese verano en Glenlair cuando se inspiró para encontrar la pieza que le faltaba a su rompecabezas. Se trataba de dotar al sistema de elasticidad e identificar las fuerzas electroestáticas con las tensiones provocadas por la elasticidad transversal de los vórtices rotatorios. El desarrollo de esta idea le llevó a la convicción que los fenómenos electromagnéticos se propagaban en forma de ondas transversales. Al ser similares a las ondas lumínicas, intuyó que quizás ambos fenómenos tenían lugar en el mismo medio.

Para comprobar su intuición, tuvo que esperar al comienzo del curso en el King’s College de Londres dónde era profesor y tenía sus libros. Cuando llegó en otoño, consultó los datos que necesitaba y realizó varios cálculos. El resultado fue sencillamente concluyente. La velocidad de propagación de los fenómenos electromagnéticos en forma de ondas transversales que le permitía calcular su modelo coincidía con la velocidad de la luz medida con medios ópticos.

El pequeño James nació en Edimburgo en 1831. Sus padres se habían trasladado allí para el parto, pero enseguida volvieron a su propiedad de Glenlair en el Suroeste de Escocia. Allí pasaría su infancia correteando por los campos e inspeccionando todo aquello que le llamaba la atención. Era un niño con curiosidad inusual. Pasaba horas intentado seguir los cursos de agua que atravesaban la propiedad así como los circuitos que hacían sonar las campanas para el servicio. Preguntaba constantemente a sus padres sobre todo aquello que caía en sus manos hasta que le contaban todo lo que sabían. Su tía Jane reconocía que era humillante no poder responder a las preguntas de ese niño como “Pero, ¿cómo puedes saber que es azul?”.

Su madre, que se ocupaba de su educación, murió cuando James tenía ocho años. Tras algún intento fallido de escolarización con un tutor en casa, a los diez años fue enviado a vivir con su tía Isabella en Edimburgo. Allí estudiaría en la Academia y posteriormente en la Universidad. Durante este periodo realizó sus primeros artículos científicos que fueron leídos en la Edinburgh Royal Society (Maxwell, 1849, 1851, 1853). Sin embargo, no fue considerado apropiado que los leyera él mismo al ser un adolescente.

Tras cumplir los diecinueve años se trasladó a estudiar matemáticas a la Universidad de Cambridge. Allí entró en contacto con los conceptos matemáticos y físicos más avanzados de su tiempo. También tuvo la ocasión de entablar relación con algunos de los autores que los habían desarrollado como George Stokes o William Thomson (posteriormente Lord Kelvin). Después de graduarse escribió sus primeros artículos científicos importantes (Maxwell, 1855, 18641). En el primero exponía los principios de la combinatoria de los tres colores primarios. En el segundo, leído entonces aunque publicado años más tarde, describía mediante ecuaciones diferenciales el estado producido en el medio por los fenómenos electromagnéticos, que Faraday había descrito cualitativamente con sus líneas de fuerza.

En 1856 se presentó y obtuvo la plaza de profesor de Filosofía Natural en el Marischal College de Aberdeen, al noreste de Escocia. Allí entablaría amistad con el director de esa institución, el reverendo Dewar, con cuya hija Katherine Mary contraería matrimonio. Durante su estancia en Aberdeen, ganó el Premio Adams, otorgado por el St. John’s College de la Universidad de Cambridge, con un trabajo en que demostraba que los anillos de Saturno estaban compuestos de pequeñas partículas de materia (Maxwell, 1859). También realizó importantes trabajos sobre termodinámica y teoría cinética de los gases (Maxwell, 1860a, 1860b).

En 1860 el Marischal College y el King’s College se fusionaron para fundar la Universidad de Aberdeen. No había necesidad de dos profesores de Filosofía Natural y siendo el más joven perdió su plaza. Afortunadamente al poco tiempo quedó vacante una plaza en el King’s College de Londres, a la que se presentó y obtuvo. Los años en el King’s College de Londres fueron los más productivos de su carrera. Sus aportaciones más destacadas fueron en electromagnetismo siguiendo la línea de su primer trabajo en Cambridge. Sin duda la más importante fue la predicción de la transmisión de los fenómenos electromagnéticos a través de ondas y la identificación de la luz con una de ellas (Maxwell, 1861a, 1861b, 1862a, 1862b).

Realizó muchas más contribuciones en electromagnetismo como el análisis dimensional o la determinación de constantes. También redactó las ecuaciones diferenciales que describen el campo electromagnético, cuya versión refinada ha llegado a nuestros días como las Ecuaciones de Maxwell (Maxwell, 1865).

Paralelamente prosiguió con sus trabajos en otros campos como la visión del color y la termodinámica, que no fueron menores. Su trabajo sobre la percepción de los colores le había valido ya la medalla Rumford y junto al de los anillos de Saturno la elección como miembro de la Royal Society. En termodinámica fue un pionero en aplicar leyes estadísticas a las partículas para obtener leyes generales de los gases. En ocasión de una charla en la Royal Institution sobre la percepción de los colores a través de los tres primarios ideó un sistema para que los asistentes comprendieran mejor en qué consistía. Sacó fotografías a una misma cinta de cuadros con tres filtros y proyectó las tres fotografías sobre una pantalla. Seguramente se trata de la primera fotografía en color de la historia.

En 1865 dejó sus responsabilidades en Londres y se instaló con su mujer en Glenlair. Así tendría tiempo para encargarse de su propiedad y terminar de escribir su tratado sobre electricidad y magnetismo que publicaría ocho años más tarde (Maxwell, 1873). En estos años de retiro, no dejó sin embargo de escribir artículos, ni de hacer viajes anuales a Cambridge y Londres, incluso hizo uno por Europa.

En 1871 obtuvo el encargo de planificar la construcción del laboratorio Cavendish de la Universidad de Cambridge y convertirse en su primer catedrático de física experimental. En esta legendaria institución se identificaría pocos años después la primera partícula subatómica, el electrón. Desgraciadamente no pudo ver ni el gran éxito del laboratorio Cavendish ni la demostración experimental de su teoría de las ondas electromagnéticas a cargo de Heinrich Hertz. En 1879, como su madre, falleció a la edad de 48 años a causa de un cáncer abdominal. Fue enterrado en una iglesia cercana a Glenlair junto a sus padres.

Para aquellos interesados en el personaje, existen varias biografías escritas poco después de su muerte por amigos y conocidos (Campbell y Garnett, 1884; Glazebrook, 1896). Por otro lado, existen ediciones de sus escritos científicos recopilados (Niven, 1890). También existen publicaciones que ofrecen una visión actual sobre su persona y obra (Mahon, 2003). Cuanto a las versiones en español, existen varias traducciones (Crowther, 1945; McDonald, 1966) y libros originales (Ladera y Chela, 1979; Gabàs, 2012).

En la primera mitad del siglo XIX Gran Bretaña se encontraba en plena revolución industrial. Se había puesto a la cabeza a nivel mundial en la extracción de carbón, metalurgia y producción de bienes materiales. Su población estaba aumentando de forma exponencial y concentrándose en las ciudades. La burguesía urbana que dominaba los procesos productivos cada vez tenía un papel más importante. Se estaba desarrollando también de forma incipiente una red de transportes terrestres de mercancías y personas gracias al ferrocarril que permitiría una movilidad más rápida y confortable. El dominio de la tecnología de la máquina de vapor aparecía como el motivo de todo aquel progreso y se hacían esfuerzos importantes para comprender los mecanismos últimos de su funcionamiento. Esto supuso un gran empujón para la ciencia al ser percibida como una fuente de riqueza. Íntimamente relacionado con la optimización del rendimiento de las máquinas de vapor se favoreció el estudio del comportamiento de los gases y del calor (teorías atómica, cinética, termodinámica y química). Por otro lado se encontraron las primeras aplicaciones prácticas para la incipiente ciencia electromagnética como la transmisión de información por cable.

En la segunda mitad de siglo XIX se empezó a desarrollar una red telegráfica mundial utilizando la tecnología de los cables submarinos. Se abría así la posibilidad de establecer comunicaciones inmediatas con cualquier parte del mundo que estuviera conectada. Gobiernos, banqueros, comerciantes o agencias de noticias podrían contactar con sus diplomáticos, clientes, proveedores o corresponsales para saber que estaba pasando en la otra punta del mundo en tiempo real. Se podrían cerrar transacciones con personas a miles de kilómetros de distancia. Dado el valor estratégico del control de las telecomunicaciones, era perfectamente comprensible que se hicieran grandes esfuerzos en el desarrollo de la tecnología del telégrafo y en la comprensión del fenómeno electromagnético. Este fue pues un tema muy presente en el trabajo de Maxwell y su punto de partida para llegar a su teoría electromagnética de la luz. Antes de tratar el fenómeno electromagnético en profundidad, veamos cual era el estado de la óptica.

En la antigua Grecia ya se había especulado sobre la naturaleza de la luz y si se transmitía con una velocidad finita o de forma instantánea. Según la escuela de los atomistas, los objetos podían verse gracias las partículas que emitían. Por otro lado, en la óptica de Euclides ya aparecía una explicación geométrica de la sensación de perspectiva. En el siglo XI, el oculista árabe Alhazen construyó una teoría de la visión recogiendo lo mejor de las anteriores y añadiendo una explicación física más satisfactoria: los rayos de luz, de procedencia exterior al observador, rebotaban en los objetos y eran percibidos por su ojo. A principios del siglo XVII, tras la generalización de las cámaras oscuras en la elaboración de bocetos y pinturas, René Descartes describió el mecanismo por el cual los rayos de luz se proyectan sobre la retina como una imagen invertida. Ese mismo siglo se propuso la teoría ondulatoria de la luz y se produjeron los primeros intentos de medición de su velocidad de propagación (Hoffmann, 1983).

El fenómeno consistente en que un objeto atrae a otros más pequeños y ligeros al ser frotado, se conocía al menos desde la antigua Grecia. Tales de Mileto dejó constancia de haber observado esta propiedad en el ámbar o ἤλεκτρον en griego. Las propiedades atractivas y repulsivas de la magnetita, llamada así por la región de Magnesía, eran conocidas ya desde antes. A principios de siglo XVII las observaciones sobre electricidad y magnetismo se habían ido recopilando en sucesivos escritos. El médico y físico inglés William Gilbert diferenció entre sustancias eléctricas e ineléctricas. Las primeras tendrían la capacidad de atraer objetos después de ser frotadas y las segundas no. En cuanto al magnetismo describió la existencia de los dos polos de un imán y que los polos iguales se repelen mientras que los distintos se atraen. También escribió sobre la imposibilidad de aislar un polo magnético partiendo sucesivas veces un imán. Gilbert mostraba más interés por los hechos y los experimentos que por la pura especulación. Mencionaba por ejemplo los patrones dibujados por las limaduras de hierro sobre un papel en las proximidades de un imán. Después de estudiar los imanes esféricos concluía que la tierra se comportaba como uno de ellos. Aunque muchos creían que electricidad y magnetismo estaban relacionados se estudiaron como fenómenos separados durante siglos.

La idea de las fuerzas a distancia propagadas por un fluido sutil existía ya desde la antigua Grecia y siguió apareciendo de forma recurrente, por ejemplo en el siglo XVII con los vórtices de Descartes. Cuando Newton postuló su ley de la gravitación universal dando sencillas fórmulas para describir la acción de fuerzas a distancia, se popularizó la percepción de que estas actuaban de forma instantánea. Parece que el propio Newton creía que las fuerzas se propagaban por algún medio indetectable, pero la potencia y sencillez de sus ecuaciones permitía omitir esta cuestión. En la visión mecanicista que se desarrolló a partir de sus ideas no se necesitaba para nada la existencia de un medio de propagación. En el caso de las fuerzas eléctricas la ley del inverso del cuadrado dada a conocer por Coulomb a finales del siglo XIX actuó de forma similar. Sin embargo el mecanismo de propagación a distancia seguía oculto.

En el siglo XIX la atención estaba centrada principalmente en las fuerzas que actuaban a distancia entre dos cuerpos, aparentemente de forma instantánea, omitiendo el espacio intermedio. En el caso de las fuerzas gravitatorias y eléctricas las ecuaciones funcionaban perfectamente. En el caso de las fuerzas magnéticas con un comportamiento más complejo, se hacía necesario un tratamiento distinto. Es entonces cuando apareció Faraday con su modelo de líneas de fuerza. Hijo de un herrero probablemente había visto en su infancia los patrones de las limaduras de hierro provocados por un imán. Un fenómeno que estaba documentado desde hacía siglos. Las líneas de fuerza eran un artilugio que utilizó para describir el estado que generaba un imán en su entorno y fueron el germen de la idea de campo.

Desde finales del siglo XVIII ya se habían ido desarrollando formalismos matemáticos para el flujo gravitatorio, eléctrico y magnético gracias a personajes como Laplace, Ampère, Biot, Savart, Poisson, Gauss o Weber. La idea de campo estaba ya en el aire cuando Faraday propuso su modelo de las líneas de fuerza. Lo que realmente cambió fue la percepción de que no se trataban solamente de un formalismo matemático útil, sino un estado que producían los objetos en el espacio de su alrededor. Las líneas de fuerza eran las curvas cuya tangente en un punto proporcionaba la dirección de la fuerza que sufriría un objeto que interaccionase con el que las causaba. En el caso de un objeto cargado eléctricamente, se trataba de rectas con un extremo en el centro del objeto cuyas fuerzas disminuían en intensidad con la ley del inverso del cuadrado de la distancia y variaban su sentido según el tipo de carga. En un imán iban desde un polo hacia el otro tal como mostraban los patrones de las limaduras de hierro y se unían por el otro extremo formando circuitos cerrados.

Las aproximaciones de Faraday eran totalmente intuitivas y basadas en los experimentos. Precisamente esto es lo que las hacía más interesantes, ya que se enfrentaban al problema desde un punto de vista más fresco y alejado de las ataduras del conocimiento académico. Sin embargo su falta de formación en matemáticas y la dificultad del modelo geométrico que había ideado no le permitieron encontrar unas fórmulas adecuadas para describirlo. Aquí es donde entra en la historia Maxwell. Después del esfuerzo de rigor que le había supuesto adaptar su potente intuición geométrica a la disciplina matemática necesaria para afrontar sus exámenes de graduación en la Universidad de Cambridge, estaba en condiciones de abordar el problema. Empezó pues a buscar analogías que le permitieran encontrar unas formulas sencillas que describieran el comportamiento de los campos eléctrico y magnético.

Con el desarrollo del cálculo diferencial y los nuevos descubrimientos científicos, las analogías entre distintos fenómenos con un tratamiento matemático idéntico estaban adquiriendo cada vez más complejidad. Uno de los que habían iniciado este camino era William Thompson con el que entonces Maxwell tenía una cordial relación y mantenía correspondencia. Desde joven, Thompson venía estudiando la analogía entre la variación en el espacio de las fuerzas electroestáticas y el gradiente de calor en un sólido. Siguiendo su ejemplo, Maxwell intentó concebir un modelo propio que se comportase de manera análoga a las líneas de fuerza y permitiese a su vez ser descrito con ecuaciones matemáticas sencillas.

La analogía que ideó Maxwell consistía en imaginar un fluido incompresible y sin peso que ocupaba el espacio. La velocidad y dirección del fluido en un punto se correspondían con la intensidad y dirección de la fuerza. La velocidad y dirección del fluido eran distintas en distintos puntos del espacio pero no variaban con el tiempo. Las curvas que representaban los caminos de las partículas y que por tanto indicaban la dirección del movimiento eran llamadas líneas de movimiento del fluido. Para elaborar un modelo espacial consideraba una superficie que las cortara todas. Imaginaba sobre ella otros dos sistemas de líneas, de tal manera que quedara dividida en cuadriláteros por los que pasaba una unidad de fluido por unidad de tiempo. Entonces imaginaba líneas de movimiento de fluido desde cada uno de los puntos de los bordes de estos cuadriláteros, de tal forma que el espacio quedaba dividido por superficies tubulares entre las que no había intercambio de fluido. Como este era incompresible, cualquier sección de un tubo que se tomara sería atravesada también por una unidad de fluido por unidad de tiempo. Obtuvo así una construcción geométrica que dividía completamente el espacio en tubos unitarios. La velocidad del fluido en un punto venia definida por la dirección del tubo y el inverso de la superficie de su sección.

Las cualidades eléctricas y magnéticas de los distintos materiales se correspondían con una distinta resistencia al movimiento del fluido en distintos medios. Esto permitía la representación en el modelo de los materiales conductores y aislantes. La resistencia era proporcional a la velocidad del fluido en cada punto. Para que esta última no disminuyese con el tiempo, era necesaria una diferencia de presión que contrarrestase los efectos de la resistencia. El gradiente de presión, representaba a la intensidad de campo. En el caso eléctrico, era producido por fuentes o sumideros que representaban a los dos tipos de cargas. Las fuerzas de repulsión o atracción eran debidas al exceso o defecto de fluido. Aplicando esta analogía obtuvo unas ecuaciones que, desarrolladas, no solo daban la ley del inverso del cuadrado de las fuerzas a distancia, sino que también daban cuenta de otros fenómenos eléctricos como la conducción a través de circuitos. Plasmó sus conclusiones en la primera parte de su artículo “On Faraday’s Lines of Force” (presentado en diciembre de 1855). Pero aún le faltaba encontrar ecuaciones para los fenómenos más complicados como la inducción electromagnética.

Para explicar la inducción electromagnética, Faraday se había valido del concepto de estado electro-tónico generado por un imán o un circuito eléctrico. Al alterar este estado por movimiento relativo respecto a otro circuito adyacente, se producía en este último una circulación de corriente eléctrica. Maxwell abordó matemáticamente la descripción de este fenómeno en la segunda parte de su artículo que tituló “On Faraday’s “Electro-tonic State”” (presentado en febrero de 1856). Para hacerlo no le bastó con un modelo tridimensional y ecuaciones sencillas, sino que necesitó unas herramientas más potentes. Así que utilizó las novedosas técnicas de cálculo vectorial avanzado que acababa de aprender en la preparación de sus exámenes de graduación en Cambridge.

El concepto de vector estaba ya implícito en la mecánica definida por Newton a finales del siglo XVII. Las operaciones vectoriales (suma y productos escalar y vectorial) se vinieron desarrollaron en los siglos posteriores y fueron finalmente expuestas de forma sencilla en 1844 por el alemán Grassmann. Los últimos avances en la materia se habían desarrollado aplicando geometría diferencial gracias a dos profesores y amigos de Maxwell: George Stokes y William Thompson. Todo el desarrollo posterior del cálculo vectorial tuvo una relación íntima con el de de la idea de campo electromagnético.

Teniendo en cuenta las leyes conocidas que relacionaban electricidad y magnetismo, Maxwell estudió qué pasaría en una pequeña porción del espacio. Utilizando el cálculo vectorial obtuvo una magnitud vectorial que describía perfectamente el estado electro-tónico de Faraday. Si tenía un valor constante no tenía efecto alguno, pero su variación implicaba la aparición de fuerzas eléctricas y magnéticas. La notación que utilizó dista un poco de la actual ya que para cada magnitud vectorial escribía las tres ecuaciones de las componentes en los ejes espaciales.

Las dos partes del artículo sobre las líneas de fuerza fueron leídas en la Cambridge Philosopical Society en diciembre de 1855 y febrero 1856 y publicadas en sus Transactions años más tarde (Maxwell, 1864). Para Maxwell con veinticuatro años este trabajo sería solo una buena base para construir una teoría más completa y elaborada. Sus aportaciones más importantes para la comprensión y descripción de los fenómenos electromagnéticos estaban aún por llegar. Sin embargo, el artículo por sí solo tuvo gran trascendencia. Para darse cuenta solo hace falta ver lo que le escribió el propio Faraday después de haberlo leído:

“Recibí tu artículo, y te lo agradezco mucho. No me aventuro a agradecerte lo que has dicho sobre las “Líneas de Fuerza”, porque sé que lo has hecho por el interés de la verdad filosófica; pero debes suponer que es un trabajo muy gratificante para mí, y me da mucho coraje para reflexionar. Estaba al principio casi aterrorizado cuando vi tanta fuerza matemática hecha enlazar con el tema y después maravillado por ver que el tema lo aguantaba tan bien.”

En el otoño de 1860 Maxwell se disponía a iniciar su nueva etapa como profesor en el King’s College de Londres. Después de los cuatro años en Aberdeen preparando el curso de filosofía natural, había desarrollado una amplia visión global del estado de la física. Había analizado e incluso ayudado en el desarrollo de las teorías e hipótesis más novedosas de su tiempo situándose en primera línea del conocimiento científico. Cabe destacar que los trabajos realizados sobre Saturno y los gases le permitieron profundizar sus conocimientos de mecánica y elasticidad. Lo cual le resultaría de muchísima utilidad en sus posteriores aproximaciones al fenómeno electromagnético. Con veintinueve años estaba a un paso de realizar su aportación más importante a la historia de la ciencia.

Que había algún tipo de relación entre los fenómenos eléctricos y ópticos era algo que se sospechaba desde hacía mucho tiempo. Era evidente que las descargas eléctricas producían luz pero esto podía ser explicado sin necesidad de identificar ambos fenómenos. De la teoría de la visión también parecía desprenderse algún tipo de relación entre la luz percibida por el ojo y las señales emitidas por los nervios presumiblemente eléctricos. Sin embargo, el artículo “On Physical Lines of Force” (Maxwell, 1861a, 1861b, 1862a, 1862b), construía una teoría solida que relacionaba definitivamente electromagnetismo y óptica. La luz era una onda electromagnética.

No contento con eso, Maxwell siguió desarrollando su teoría del campo electromagnético. Volvió a abordar el tema utilizando una aproximación cercana a la mecánica analítica de Lagrange. Este había hecho un gran esfuerzo para reducir la mecánica de Newton a un conjunto de formulas generales de sencilla aplicación. Había deducido las leyes de la mecánica utilizando simplemente el cálculo diferencial y el principio de mínima acción, sin apoyar sus deducciones en la geometría. Había expresado las energías cinética y potencial de un sistema material determinando la configuración de sus partes por tantas variables como grados de libertad. A partir de ellas se podían obtener por derivación las ecuaciones del movimiento.

Aplicando este enfoque al fenómeno electromagnético, Maxwell realizó un nuevo trabajo que fue leído ante la Royal Society en diciembre de 1864. Al cabo de unos meses fue publicado en sus Transactions como un artículo de siete partes bajo el nombre “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” (Maxwell, 1865). En la Parte III titulada “General Equations of the Electromagnetic Field” se presentaba un sistema de ocho expresiones. Eran dos ecuaciones escalares y seis vectoriales formadas por tres ecuaciones para cada eje del espacio. Se trataba pues en total de un sistema de veinte ecuaciones con veinte variables. Algunas de estas ecuaciones ya habían ido apareciendo en sus artículos anteriores pero aquí estaban agrupadas por primera vez bajo el nombre ecuaciones generales del campo electromagnético (Simpson, 1997, 2010; Gabàs, 2012).

Después de pasar por numerosos refinamientos sucesivos, actualmente se conoce como las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético a un conjunto de cuatro ecuaciones vectoriales (Fleisch, 2008). La primera es conocida como ley de Gauss para el campo eléctrico (1). Según ella, el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la suma de la carga total que alberga en su interior. El flujo eléctrico es análogo al de la mecánica de fluidos. Se utiliza para describir el campo eléctrico en relación a una superficie, es decir, cuál es la componente del campo perpendicular a dicha superficie. Aunque en la formulación original (Maxwell, 1865) no aparecía en su forma actual, puede obtenerse fácilmente combinando la ecuación de la electricidad libre (G) con la ecuación de la elasticidad eléctrica (E). En la formulación original aparecía la elasticidad eléctrica en lugar de su inversa la permitividad.

El operador nabla es la derivada parcial de cada componente del vector en cada una de las direcciones del espacio. Seguido de un producto escalar (∙) representa la divergencia o la magnitud de ganancia o pérdida de intensidad de un campo vectorial en un punto. Seguido de un producto vectorial (×) representa el rotacional o magnitud de la inducción a rotación de un campo vectorial alrededor de un punto. Los términos rotacional o curl y convergencia fueron sugeridos por el propio Maxwell para referirse a los distintos tipos de variación en un campo de vectores. Actualmente se siguen utilizando salvo que el término convergencia ha sido sustituido por su negativo, divergencia o div.

La segunda de las ecuaciones es conocida como ley de Gauss para el campo magnético (2). Según ella el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo. Esto equivale a decir que todas las líneas de fuerza magnética que entran en tales superficies salen de igual manera, o lo que es lo mismo es imposible encontrar en su interior una fuente o sumidero de campo. Esto implica la no existencia de los polos magnéticos aislados y que las líneas de fuerza de los campos magnéticos deben ser cerradas. Esta expresión no aparecía en la formulación original (Maxwell, 1865). Fue introducida al conjunto en trabajos de autores posteriores como Heinrich Hertz para dar mayor simetría al conjunto.

La tercera de las ecuaciones es conocida como ley de Faraday (3). Según ella la circulación de la intensidad de campo eléctrico en un circuito cerrado (fuerza electromotriz) es directamente proporcional a la rapidez con que varia el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con dicho circuito como borde Esto implica que un campo magnético variable en el tiempo provoca la existencia de un campo eléctrico. Aunque en la formulación original (Maxwell, 1865) no aparecía en su forma actual, puede obtenerse fácilmente a partir de las ecuaciones de las fuerzas magnéticas (B) sustituyendo el momento electromagnético por la intensidad de campo eléctrico. Maxwell había utilizado el momento electromagnético para describir el estado electro-tónico de Faraday (Maxwell, 1864). La variación temporal del momento equivale a la intensidad de campo eléctrico. Este cambio en la formulación fue introducido por Oliver Heaviside intentando buscar una cierta simetría entre campo eléctrico y magnético. Heaviside también aplicaría la notación vectorial utilizando una flechita encima de las letras en mayúsculas para referirse a vectores.

La cuarta y última de estas ecuaciones es conocida como ley de Ampère-Maxwell (4). Ampère había encontrado una relación para un campo magnético y una corriente eléctrica que no variaban en el tiempo. Según la expresión actual de esta ley la corriente eléctrica que atraviesa una superficie abierta finita es proporcional a la circulación de la intensidad de campo magnético en la curva cerrada que constituye el borde de dicha superficie. Cuando se considera esta ley a lo largo de un circuito eléctrico se puede ver que en la parte donde está la diferencia de potencial hay una discontinuidad. Maxwell introdujo un nuevo término en que se consideraba en ese punto la variación temporal del flujo eléctrico como constituyente de unas pequeñas corrientes de desplazamiento. Este disminuía con la fuerza electromotriz a la vez que la carga se equilibraba entre los extremos por efecto de la corriente. La ley de Ampère-Maxwell (4) puede obtenerse a partir de la formulación original (Maxwell, 1865) fusionando las ecuaciones de la corriente eléctrica (C) y las ecuaciones de la corriente total (A). Una forma fusionada de ambas expresiones ya había aparecido en el anterior artículo de Maxwell (Maxwell, 1862a). Pero allí, la variación del desplazamiento eléctrico con el tiempo aparecía en el otro lado de las ecuaciones, por necesidades en el desarrollo matemático de lo que allí trataba.

Finalmente, si consideramos estas ecuaciones en el vacío, la densidad de carga de la ecuación (1) y la densidad de corriente de la ecuación (4) son cero. Gracias al término de corrientes de desplazamiento las ecuaciones adquieren una gran simetría:

Una solución para este sistema consiste en dos planos de ondas transversales perpendiculares entre sí del campo eléctrico y magnético. Ambas están en fase y sus frentes se propagan a la velocidad de la luz: