Este artículo trata de Zubiri y la Lógica. ¿Qué concepción de la Lógica fue más afín con su formación y con sus intereses como filósofo? Me pregunto por qué Zubiri desde bien joven se decidió por el intuicionismo de Poincare, de Brouwer y en qué medida contribuyeron ambos en el desarrollo de su filosofía centrada en la descripción de lo real en la inteligencia sentiente. Presento un asunto original y desatendido hasta ahora en la investigación sobre este pensador español contemporáneo.
This article deals with Zubiri and logic. Which conception of logic was most related to his academic training and his interests as a philosopher? Why did Zubiri opt for Poincare and Brouwer intuitionism from a very young age and to what extent did they both contribute to the development of his philosophy. Here, an original topic, until now neglected in the research on this contemporary Spanish thinker, is presented.
Este es un artículo sobre la filosofía de la lógica zubiriana. Me pregunto por la
En 1912 Brouwer fue nombrado profesor en la universidad de Amsterdam; contaba por entonces con algunos trabajos decisivos en Topología y tenía publicados varios artículos de relevancia internacional; sin embargo, conseguido todo eso, su dedicación al problema de los fundamentos de la matemática fue inmediata y muy intensa. En su lección inaugural como profesor en la universidad de Ámsterdam, ese mismo año doce, Brouwer afirmó que la aritmética elemental y con ella la totalidad de la matemática, se han de derivar de la intuición del tiempo (Brouwer,
A partir de esta
“Brouwer y Weyl, nos presentan una interpretación casi física del continuo geométrico y una teoría finitista e intuitiva de los conjuntos, audaz concepción que viene a poner en crisis nociones tan cardinales como las de infinito actual, correspondencia funcional y hasta el concepto mismo de dimensión” (Zubiri,
La formación científica del joven Zubiri, iniciada en su estancia universitaria en Lovaina, ampliada en Madrid y posteriormente en algunas de las mejores facultades de ciencias centroeuropeas, resulta tan relevante y tan bien conocida como su formación filosófica o teológica. El proyecto científico y filosófico del jovencísimo pensador español era por entonces el siguiente: un programa descriptivo de investigación de las objetividades conscientes como hechos primarios de la conciencia. Su inspiración central estuvo centrada en los
“exigen Brouwer y Weyl que la matemática se distinga de la Lógica: la Matemática no trata de conjuntos cualesquiera, buena prueba de ello son las antinomias a las que la concepción de Cantor conduce y que hasta sus más decididos partidarios no pueden evitar sino restringiendo considerablemente la noción de conjunto […] Para Brouwer y Weyl la matemática tiene como característica determinar los objetos indicando un número finito de operaciones que se pueden realizar efectivamente, y que permiten construir los elementos del conjunto. No se trata aquí de posibles operaciones efectuables. El infinito recobra así su natural sentido: es el indefinido, cuyo equivalente metodológico se halla en el razonamiento por recurrencia y en el paso al límite […] La construcción finita es, pues, lo que distingue la matemática de la Lógica” (Zubiri,
Tengo que señalar que no considero todos estos primeros escritos desde un interés meramente historiográfico pues tienen, no cabe duda, una validez específica propia, en tanto en cuanto permiten hablar de los comienzos de un pensamiento filosófico original y de tan amplio radio como es la noologia zubiriana. Aún más, en lo que respecta a la Lógica y la Filosofía de la matemática de Zubiri, pues son constantes las alusiones a la concepción intuicionista de Brouwer. ¿Cómo obtuvo el joven filósofo noticia de esta corriente de pensamiento matemático? ¿Por qué le interesó? Mi respuesta es que fueron muy variadas las fuentes documentales que debemos recordar a la hora de desandar ese camino: Poincaré, Brundschvicg y el eminente matemático español Julio Rey Pastor.
No sabemos con rigurosa precisión lo que Brouwer entiende por
“Pero la intuición de que hablan los modernos críticos (se refiere naturalmente a Brouwer y Weyl) no es la percepción sensible, sino la intuición fenomenológica. Poco, mejor dicho, absolutamente nada nos importa que la materia sea realmente continua; este es un problema que sólo a la Física interesa. Nos basta con que el contenido de la percepción sensible nos ofrezca una continuidad fenomenológica para que, por el procedimiento de reducción podamos elevarnos a la idea de continuidad. La percepción nos sirve no de método para juzgar realidades, sino de paradigma para intuir ideas. Y esta intuición fenomenológica nos revela que lo esencial del continuo es precisamente no ser conjunto: los elementos del continuo no están actualmente dados en el […] Finitismo e intuicionismo: he aquí los dos capitales problemas de la matemática contemporánea” (Zubiri,
Zubiri, en esta primera etapa de su formación buscaba un ámbito originario e inmediato en el modo de darse las cosas en la conciencia objetiva. Un ámbito originario que posibilitara la constatación de lo que aparece y tal como aparece en la conciencia intencional; es, de este modo la intuición, el supuesto imprescindible y anterior de cualquier saber concreto. Se trata entonces de la
La exigencia más importante de la concepción intuicionista de la matemática era la de no admitir en matemáticas ningún enunciado existencial que no haya podido ser demostrado por medio de la construcción de un ejemplo. En caso contrario, las paradojas serán responsabilidad de cada cual pues, según Brouwer, nos arriesgamos a afirmar propiedades matemáticas sin el menor respaldo de carácter intuitivo. Es cierto que el propio Brouwer se vio abocado a algunas sorprendentes conclusiones en el intento de poner en marcha con férreo rigor su propio programa intuicionista. En el año ocho, 1908 había dado a conocer un brillantísimo trabajo (Brouwer,
“Poincaré primero y Brouwer después reclamaron enérgicamente la construcitividad como carácter específico de la Matemática. Es lo que se ha llamado intuicionismo, frente al formalismo de Hilbert […] Brouwer parte de dos datos irreductibles: el número entero y el continuo para subrayar el carácter autónomo de la matemática constructivista frente a la lógica deductiva […] Brouwer se vio conducido a dos extrañas ideas: La primera, que el principio de tercio excluso no tiene sentido matemático. En frase gráfica dice Brouwer que la matemática no es un saber sino un hacer. Pero va más lejos, el principio de tercio excluso no es que no sea suficiente en matemáticas es que no es verdadero en ellas; de suerte que no sólo la Lógica no es la matemática, sino que ni tan siquiera es un supuesto de ella; al contrario, es una parte de la matemática aplicada a los conceptos. La lógica no sería sino la expresión abstracta de las operaciones matemáticas, pero no al revés” (Zubiri,
Con este mismo asunto pero en 1918 Brouwer presentó en la Real Academia Holandesa la primera parte de su
“Si así fuera, la matemática sería pura y simplemente una combinación de verdades: en el fondo una promoción de la lógica. Así lo han pensado mil veces eminentes, incluso geniales, matemáticos. Pero ello no obsta para que no sea así. La matemática no es un sistema de verdades necesarias, y meramente coherentes entre sí de acuerdo con los “principios” de la lógica” (Zubiri,
Ambos, Zubiri y Brouwer, son profundamente anti-logicistas. No cabe duda. La diferencia estriba en que en Zubiri la matemática es un sistema de verdades necesarias que, a su modo tienen realidad ante la inteligencia. Para Brouwer ese sistema de verdades necesarias es una mera construcción intuitiva de la sagaz inteligencia individual del matemático. Brouwer, adelantándose de alguna manera a los trabajos de K. Gödel, se dio cuenta de que no hay ni podría haberlo, un lenguaje lógico formal capaz de asegurar a la Matemática contra todo riesgo de paradoja o contradicción en sus teoremas. Dicho de otro modo, no tenemos ningún lenguaje lógico capaz de conjurar toda posibilidad de contradicción, por lo que es un empeño vano confiar en la exhaustiva
En la concepción intuicionista que Brouwer tuvo de la Matemática, ésta evoluciona a lo largo de la historia y no es más que el resultado de la inteligencia humana con todos los defectos que esto conlleva en cuanto a su fiabilidad
“Para el intuicionismo, construir matemáticamente no es lo mismo que definir y construir conceptos. El intuicionismo rechaza la idea de que la matemática se funda en la lógica; una demostración que apela al principio lógico del tercio excluso no es para Brouwer una demostración matemática. La matemática no es un sistema de conceptos y operaciones
Un año después, en 1919 Brouwer presenta la segunda parte de
En 1927 Brouwer impartió una serie de conferencias sobre el intuicionismo en la Universidad de Berlín que fueron recibidas con mucho entusiasmo y en aquel prestigioso foro académico propuso un boicot al Congreso Internacional de Matemáticas que iba a celebrarse en Bolonia al año siguiente, en 1928. Hilbert, desoyendo la propuesta de Berlín, acudió al congreso italiano. Se trató de su última intervención pública atacando duramente al intuicionismo y sobre todo a la figura de Brouwer. A su vuelta a la capital germana destituyó inmediatamente a Brouwer del Consejo editorial de su revista. El matemático holandés comprobó que esa medida fue aceptada por la gran mayoría de la comunidad internacional de matemáticos, e inmediatamente abandonó su presencia pública internacional y todo interés por su excepcional creación matemática. Arendt Heytinga, uno de los pocos alumnos suyos con los que no terminó enemistándose, continuó desarrollando el programa intuicionista de fundamentación de la matemática (Heytinga,
La descripción de la inteligencia sentiente, el mismo Zubiri nos lo advierte, no es ni una teoría del conocimiento, ni es una psicología de la inteligencia, ni es un tratado de Lógica. Se trata de la intelección en cuanto tal: una investigación de lo que estructural y formalmente sea la inteligencia, el
“Recordemos lo que he dicho a propósito del espacio de Euclides. Nos parece a todos que es algo evidente y natural porque es, se nos dice, el espacio que todos vemos. Ahora bien, lo que tenemos que decir rotundamente es que el espacio euclidiano no lo ha visto jamás nadie. ¿Quién ha visto el espacio euclidiano? Que tiene tres dimensiones…Bueno, más o menos. Suponiendo que las tres dimensiones de nuestro espacio no sean la proyección de un universo de cuatro o más dimensiones, como en un plano se puede tener la proyección de un espacio de tres. Esto no se puede demostrar, pero tampoco se puede demostrar lo contrario. A parte de esto, ¿quién ha visto las demás condiciones de un espacio euclidiano? ¿Ha visto alguien las paralelas? Pero si, a poco que se prolonguen, se encontraran las paralelas en el espacio en perspectiva, en el horizonte. ¿Quién ha visto dos líneas paralelas que se prolonguen indefinidamente y no se encuentren, si nadie ha podido prolongar jamás nada indefinidamente en el Universo? Nadie ha visto el espacio euclidiano. No tenemos esa intuición del espacio euclidiano; es perfectamente ilusorio. Será todo lo sencillo que se quiera lógicamente—cosa que habría que discutir--, pero no se puede apelar a la intuición. El espacio euclidiano no lo ha visto nadie” (Zubiri,
Zubiri se muestra entonces rotundo: no se puede apelar a la intuición. No tenemos intuición del espacio euclidiano. Pero volvemos a encontrarnos con el olvidado y defenestrado Brouwer, en este caso reconocido no como filósofo de la matemática o lógico intuicionista sino más como bien como el extraordinario topólogo que fue. Como sabemos, Brouwer estuvo convencido de que el fundamento de la Aritmética era un tipo de verdad matemática cuyo fundamento reside en la intuición del continuo temporal. Ahora bien, en el inicio mismo de su carrera como matemático profesional, Brouwer reconoció enseguida que el desarrollo de las geometrías no-euclidianas había desfondado la concepción intuitiva del espacio como una verdad sintética a priori. Pues bien, Zubiri, describiendo el espacio y su estructura dimensional, se pregunta qué se entiende por dimensión en el espacio. Señala entonces que en virtud del teorema de Brouwer, la dimensión es una propiedad topológica, lo cual significa que, aun en los espacios métricos, su dimensión es una propiedad de su estructura topológica. Zubiri escribe:
“no hay nada más alejado de la intuición que estas estructuras topológicas. Por ejemplo, acabo de citar una, un continuo que no se puede dividir en partes continuas; esto no es muy intuitivo que digamos” (Zubiri,
En su descripción de los diferentes espacios geométricos sea euclidiana o sea cualquiera de las infinitas métricas que hiciera posible Riemann, nada queda más alejado de la intuición matemática que estas estructuras topológicas. Refutada la posibilidad de una intuición para el espacio geométrico, la alternativa inmediata sería la de un sistema de referencia lógico axiomático, en la tradición del programa hilbertiano en el que las dimensiones son un infinito numerable, sin embargo escribe Zubiri:
“El sistema de propiedades de un espacio no es tampoco pura y simplemente un cuerpo lógico de proposiciones. No, esto no, porque como cuerpo lógico, evidentemente, todo depende de un sistemas de axiomas, y en cada caso estos axiomas estarían libres y arbitrariamente elegidos como premisas lógicas” (Zubiri,
Volvemos entonces al problema de la dualidad en que se ha movido la filosofía de la matemática contemporánea: descartado el intuicionismo en la geometría y defenestrado en la aritmética podríamos pensar efectivamente que el logicismo ha ganado la partida, pero no es así. Como observamos, Zubiri piensa que las propiedades del espacio ni son intuitivas ni son un sistema lógico de axiomas. Ambas concepciones de la matemática han resbalado en el carácter de realidad postulada que fundamenta esta ciencia cuando construye sus conceptos. Y para Zubiri esto ha sido fuente de toda suerte de dificultades.
La idea fundamental de Zubiri pasa entonces por su noción de lo irreal: nuestra
“Se pregunta entonces en qué consiste la irrealización propia de que constituye la realidad matemática, esa irrealización que ni es ficción ni mera conceptuación. Pues bien, la cosa es sumamente sencilla: las operaciones matemáticas son construcciones. Ciertamente no son construcciones en el sentido de que con aparatos o como sea construyo una realidad matemática como podría construir una casa. Pero, desde luego, hago más que concebir aquella. Es lo que alguna vez ha solido llamarse construcción según conceptos. Como quiera que sea se trata de una construcción. Se trata de tomar elementos con los cuales se construye algo. Ahora bien, esto no acontece en la ficción. La ficción es de otro tipo: no es propiamente hablando una ficción. Entonces uno propendería a pensar que la realidad matemática es una construcción de realidad. Esto es falso […] No es construcción de realidad, sino realidad en construcción” (Zubiri,
Construir matemáticamente no es definir lógicamente conceptos; construir no es solamente hacer de algo un término intencional e irreal, esto eso sería una simple cuestión de contenidos. Construir, dicho más técnicamente, consiste en proyectar lo irreal del concepto sobre “la” realidad “según conceptos”. Por tanto construcción es un modo de realización: es realizar según conceptos. Esta conceptuación de la realidad matemática por construcción no es pues un logicismo ni es un formalismo, pero tampoco es ahora, ni remotamente, lo que se había presentado como oposición o como alternativa fiable: el intuicionismo de Brouwer. Ahora, en su madurez filosófica, el intuicionismo matemático se le presentó a Zubiri como un problema que, de alguna manera, le era preciso resolver de modo satisfactorio. La clave está naturalmente en la aprehensión primordial de realidad. El objeto matemático no es intuido sino que es aprehendido en aprehensión primordial, dos cosas que el octogenario Zubiri ve completamente distintas. La libre creación de la inteligencia sentiente está fundada en lo real y estructurada formalmente en los modos de intelección; construir es proyectar libremente en la realidad física un contenido según conceptos. Postular objetos matemáticos, es en Zubiri, postular realidad. La construcción matemática es siempre y por tanto un acto del
“El intuicionismo es radicalmente un Finitismo. La mayoría de los matemáticos rechazaron por esto la obra de Brouwer a pesar de sus geniales aportaciones a la topología, porque amputar el infinito actual sería para ellos anular un enorme trozo del edifico matemático. Brouwer, se nos dice, si fuera consecuente consigo mismo, se vería forzado a dar por inválido toda una parte enorme del análisis infinitesimal” (Zubiri,
El intuicionismo matemático es una forma de Finitismo que anula una de las mejores construcciones de la matemática, el análisis infinitesimal. Pero esto no es todo, el llamado conjunto finito, presuntamente dado en la intuición para ser aceptado por Brouwer, no es sino la aplicación del conjunto ya construido intelectivamente a la diversidad de lo dado. La intuición, como la visión de algo dado de forma inmediata, directa y unitariamente, no da sino diversidad de momentos, pero jamás nos da conjuntos de elementos. Para tener un conjunto es necesario un acto ulterior de intelección que haga de los momentos, elementos de ese conjunto. Hace falta lo que rigurosamente Zubiri denomina construcción. Y así acaba afirmando rotundo:
“Por consiguiente, en estricto rigor no pude llamarse intuicionismo a la matemática de Brouwer. El conjunto de Brouwer no es intuitivo; es el contenido objetivo de un concepto que se
He dejado planteada una pregunta inicial: ¿Fue Zubiri un
Brouwer llamaba
Hubiera sido conveniente dejar esbozado un breve comentario entre la concepción husserliana del tiempo como un flujo de vivencias, más que una sucesión lineal y la retención que el instante presente conserva en sí del que acaba de deslizarse al pasado y este instante a los precedentes. O también la concepción bergsoniana del tiempo como una intuición que dura (durée) desplegando y replegando; un tiempo vivo que dura y fluye en el que los momentos resuenan como la melodía de una pieza musical.
Conservado en Madrid, en la Fundación Xavier Zubiri (Archivo Xavier Zubiri, caja 11).
Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil: Allgemeine Mengenlehre. Op,cit, 150 y ss.
Para Zubiri las verdades matemáticas y los principios lógicos son ciertamente necesarios, pero su necesidad pende de postulados y podrían ser perfectamente de otra manera. Los postulados están libremente elegidos de forma que variando los postulados, la verdad matemática y los principios de la lógica formal serían otros. Pero no es el tema de la verdad el que nos ocupa ahora.
En su lugar se admitió un